Программное обеспечение спектрального метода Spectrum

Расчетная система Spectrum предназначена для решения различных задач теории автоматического управления спектральным методом, позволяющим свести исходную задачу, математическая модель которой содержит дифференциальные или разностные уравнения и интегральные соотношения, к системе алгебраических уравнений.

Основные модули программы и схема их взаимодействия показаны на рис. 1. Ядром системы являются модуль спектральных преобразований и интерпретатор алгоритма вычислений в спектральной области.

Рис. 1. Логическая структура Spectrum.

Для приближенно-аналитического решения задач анализа выходных процессов и синтеза оптимального управления модуль спектральных преобразований позволяет:

• рассчитывать двумерные нестационарные передаточные функции элементарных непрерывных (дискретных) звеньев: дифференцирующего (разностного), интегрирующего (суммирующего), усилительного и звена чистого сдвига, а также трехмерную нестационарную передаточную функцию множительного звена, представляя их в виде усеченных матриц соответствующей размерности;
• рассчитывать двумерные нестационарные передаточные функции непрерывно-дискретных звеньев: дискретного элемента с бесконечно малым временем замыкания (звено с непрерывным входом и дискретным выходом), экстраполятора нулевого порядка (дискретный вход, непрерывный выход), представляя их в виде усеченных матриц;
• рассчитывать нестационарные спектральные характеристики непрерывных и дискретных типовых воздействий (ступенчатая функция 1(t-t), импульсная функция d(t-t), tⁿ, sin(wt+f), e^at и др.), а также плотности вероятности равномерного распределения на заданном отрезке и нормального распределения с параметрами m и s, представляя их в виде усеченных векторов;
• рассчитывать многомерные нестационарные спектральные характеристики произвольных функций нескольких переменных, задаваемых как суперпозиции элементарных функций, представляя их в виде усеченных векторов соответствующей размерности (используется компилятор скалярных функций векторного аргумента);
• рассчитывать нестационарные спектральные плотности непрерывных и дискретных типовых случайных воздействий (например, белого шума с заданной спектральной плотностью), представляя их в виде усеченных векторов и матриц (для первой и второй нестационарных спектральных плотностей соответственно);
• вычислять значения базисных функций, представляя их в виде усеченного вектора (нестационарная спектральная характеристика импульсной функции) или матрицы (значения базисных функций на равномерной сетке для построения графиков (рис. 2));
• проводить обратное спектральное преобразование одномерных и многомерных нестационарных спектральных характеристик, представляя результат в виде матрицы значений функции (оригинала) на равномерной сетке.

Численное интегрирование при расчете нестационарных спектральных характеристик производится методом трапеций с последующим применением метода Рунге-Ромберга-Ричардсона повышения порядка точности.

Рис. 2. Ортонормированные функции Эрмита.

При решении задач спектральным методом можно использовать следующие системы ортонормированных функций: полиномы Лежандра и Чебышева, тригонометрические функции, функции Уолша и Хаара, полиномы и функции Лагерра, полиномы и функции Эрмита, причем при расчете двумерных и трехмерных нестационарных передаточных функций можно использовать только однотипные базисные функции, выбор которых зависит от решаемой задачи. Например, при решении задачи теоретико-вероятностного анализа стохастических систем с переменной структурой фазовым пространством является Rⁿ, поэтому для спектрального преобразования по каждой фазовой координате необходимо использовать систему функций Эрмита, ортонормированную в L₂(R), а при анализе линейных систем управления на фиксированном отрезке времени вид базисных функций (полиномиальный, гармонический, кусочно-постоянный) выбирается в соответствии с типом входных сигналов или характеристик системы.

Для решения задач необходимо задать алгоритм вычислений в спектральной области в виде последовательности формул (рис. 3), для ряда задач возможно автоматизированное формирование такой последовательности. При применении диалогового формирователя пользователю необходимо заполнить необходимые параметры, такие как порядок системы, коэффициенты уравнения, начальные и краевые условия и т.п. (рис. 4), а программа по этим данным рассчитывает все необходимые спектральные характеристики и создает алгоритм вычислений в спектральной области (рис. 5), который затем обрабатывается интерпретатором.

Рис. 3. Основное окно Spectrum - последовательность формул задает алгоритм решения задачи теоретико-вероятностного анализа выходных процессов нелинейной одномерной стохастической системы.

При использовании диалогового формирователя можно создавать проекты для следующих классов задач теории управления:

• анализ линейных одномерных нестационарных систем управления при детерминированных и случайных воздействиях;
• анализ нелинейных многомерных стохастических систем с возмущениями типа гауссовского белого шума;
• анализ непрерывно-дискретных стохастических систем (анализ непрерывной стохастической системы, для которой управление синтезируется на основе измерений в заданные моменты времени);
• синтез оптимального управления нелинейной многомерной стохастической системой при неполной информации о векторе состояния;
• анализ стохастических систем с переменной структурой (СПС) общего вида;
• анализ стохастических систем с двумя структурами и систем с однонаправленными переходами (частные случаи задачи анализа СПС, не требующие использования операций агрегатирования и декомпозиции многомерных матриц).

Для других задач, при решении которых может быть использован спектральный метод, алгоритм вычислений можно ввести с помощью редактора формул.

Рис. 4. Схема работы диалогового формирователя для СПС.

Интерпретатор алгоритма вычислений позволяет производить все стандартные операции алгебры многомерных матриц (сложение, умножение, умножение на действительное число, тензорное произведение, транспонирование, нахождение обратной матрицы, возведение в степень с натуральным показателем), а также специфические операции, например, умножение трехмерной матрицы на вектор. Возможен расчет определителей плоских квадратных матриц и вычисление евклидовой нормы матриц любой размерности для контроля корректности решаемых задач. Для плоских и трехмерных матриц можно строить сечения по последнему индексу. При вычислении обратных матриц можно использовать метод Гаусса с выбором главного элемента или псевдообращение (разложение по сингулярным числам, метод Гревилля). Для анализа и синтеза систем с переменной структурой предусмотрена возможность агрегатирования и декомпозиции многомерных матриц. Интерпретатор контролирует правильность алгебраических операций, т.е. следит за согласованностью матриц при бинарных операциях, невырожденностью матриц при обращении и т.д.

Рис. 5. Алгоритм решения задачи анализа системы с однонаправленными переходами,
сгенерированный с помощью диалогового формирователя.

Размерность и порядок матриц и векторов (спектральных характеристик) ограничена лишь доступной оперативной памятью. Предусмотрена как классическая, так и разреженная схема хранения.

Для семантического контроля корректности производимых операций введена классификация матриц и векторов (нестационарные передаточные функции, нестационарные спектральные характеристики, векторы значений базисных функций и т.д.), что позволяет избежать смысловых ошибок в ходе решения задач. Например, результатом умножения матриц двумерных нестационарных передаточных функций будет системная характеристика некоторого звена (последовательного соединения двух звеньев), и данный результат будет отнесен к классу нестационарных передаточных функций, напротив, сложение системной характеристики и матрицы значений скалярной функции будет воспринято как семантическая ошибка.

Таким образом, программное обеспечение Spectrum является эффективным инструментом для автоматизации решения задач анализа и синтеза систем управления спектральным методом.

Spectrum используется в учебном процессе кафедры "Математическая кибернетика" Московского авиационного института для проведения лабораторных и курсовых работ по курсам "Теория автоматического управления" и "Спектральная теория систем управления".

Список литературы

1. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 2003. – 583 с.
2. Пантелеев А.В., Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Спектральный метод анализа нелинейных стохастических систем управления. – М.: Вузовская книга, 2006. – 392 с.
3. Солодовников В.В., Семенов В.В., Пешель М., Недо Д. Расчет систем управления на ЦВМ: спектральный и интерполяционный методы. – М.: Машиностроение, 1979. – 664 с.